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C++數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)之稀疏矩陣

　　C++數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，先說說什么叫稀疏矩陣。你說，這個(gè)問題很簡單嗎，那你一定不知道中國學(xué)術(shù)界的嘴皮子仗，對一個(gè)字眼的“摳”將會(huì)導(dǎo)致兩種相反的結(jié)論。這是清華2000年的一道考研題：“表示一個(gè)有1000個(gè)頂點(diǎn)，1000條邊的有向圖的鄰接矩陣有多少個(gè)矩陣元素?是否稀疏矩陣?”如果你是個(gè)喜歡研究出題者心理活動(dòng)的人，你可以看出這里有兩個(gè)陷阱，就是讓明明會(huì)的人答錯(cuò)，我不想說出是什么，留給讀者思考。姑且不論清華給的標(biāo)準(zhǔn)答案是什么，那年的參考書是嚴(yán)蔚敏的《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C語言版)》，書上對于稀疏矩陣的定義是這樣的：“非零元較零元少(注：原書下文給出了大致的程度)，且分布沒有一定規(guī)律”，照這個(gè)說法，那題的答案應(yīng)該是不一定是稀疏矩陣，因?yàn)榭赡苁翘厥饩仃?非零元分布有規(guī)律)。

　　自從2002年換參考書后，很多概念都發(fā)生了變化，最明顯的是從多少開始計(jì)數(shù)(0還是1)，從而導(dǎo)致的是空樹的高度變成了-1，只有一個(gè)根節(jié)點(diǎn)的樹高度是0。很不幸的是樹高的問題幾乎年年都考，在你下筆的時(shí)候，總是犯點(diǎn)嘀咕，總不是一朝天子一朝臣吧，會(huì)不會(huì)答案是個(gè)兼容版本?然后，新參考書帶的習(xí)題集里引用了那道考研題，答案是是稀疏矩陣。你也許會(huì)驚訝這年頭咸魚都會(huì)游泳了，但這個(gè)答案和書并不矛盾，因?yàn)樵谶@本黃皮書里，根本就沒有什么特殊矩陣，自然就一定是稀疏矩陣了。

　　其實(shí)，這兩本書在這個(gè)問題上也沒什么原則上的問題，C版的是從數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)區(qū)分出特殊矩陣和稀疏矩陣，畢竟他們實(shí)現(xiàn)起來很不相同;新書一股腦把非零元少的矩陣都當(dāng)成稀疏矩陣，當(dāng)你按照這種思路做的時(shí)候就會(huì)發(fā)現(xiàn)，各種結(jié)構(gòu)特殊的非零元很少的矩陣，如果用十字鏈表來儲(chǔ)存的話，比考慮到它的特殊結(jié)構(gòu)得出的特有儲(chǔ)存方法，僅僅是浪費(fèi)了幾個(gè)表頭節(jié)點(diǎn)和一些指針域，再有就是一些運(yùn)算效率的降低。從我個(gè)人角度講，我更喜歡多一些統(tǒng)一，少一些特別，即使?fàn)奚稽c(diǎn)效率;所以在這一點(diǎn)上我贊同新參考書的做法。而在計(jì)數(shù)起點(diǎn)上，我更喜歡原來的做法;畢竟，研究數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)要考慮人的思考習(xí)慣，而不是計(jì)算機(jī)喜歡什么;你非得說表中的***個(gè)元素是第0個(gè)，空樹的高是-1，怎么不讓人心里起疙瘩。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是人們構(gòu)造算法時(shí)思維和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的橋梁、中介，它應(yīng)該符合人的思考習(xí)慣，即使在它實(shí)現(xiàn)的時(shí)候內(nèi)部做了某些轉(zhuǎn)換。開始廢話了這么多，希望沒打消了你往下看的心情，好，言歸正傳。

　　這里的十字鏈表是這樣構(gòu)成的：用鏈表模擬矩陣的行(或者列，這可以根據(jù)個(gè)人喜好來定)，然后，再構(gòu)造代表列的鏈表，將每一行中的元素節(jié)點(diǎn)插入到對應(yīng)的列中去。書中為了少存幾個(gè)表頭節(jié)點(diǎn)，將行和列的表頭節(jié)點(diǎn)合并到了一起——實(shí)際只是省了幾個(gè)指針域，如果行和列數(shù)不等，多余的數(shù)據(jù)域就把這點(diǎn)省出的空間又給用了。這點(diǎn)小動(dòng)作讓我著實(shí)廢了半天勁，個(gè)人感覺，優(yōu)點(diǎn)不大，缺點(diǎn)不少，不如老老實(shí)實(shí)寫得象個(gè)十字鏈表，讓人也好看一些，這是教科書，目的是教學(xué)。實(shí)在看得暈的人，參閱C版的這部分內(nèi)容，很清晰。我也不會(huì)畫圖，打個(gè)比方吧：這個(gè)十字鏈表的邏輯結(jié)構(gòu)就像是一個(gè)圍棋盤(沒見過，你就想一下蒼蠅拍，這個(gè)總見過吧)，而非零元就好像是在棋盤上放的棋子，總共占的空間就是，確定那些線的表頭節(jié)點(diǎn)和那些棋子代表的非零元節(jié)點(diǎn)。***，我們用一個(gè)指針指向這個(gè)棋盤，這個(gè)指針就代表了這個(gè)稀疏矩陣。

　　現(xiàn)在，讓我們看看非零元節(jié)點(diǎn)最少需要哪幾個(gè)域，data必須的，down、right把線畫下去，好像不需要?jiǎng)e的了。再看看表頭節(jié)點(diǎn)，由于是鏈表的表頭節(jié)點(diǎn)，所以就和后邊的節(jié)點(diǎn)一樣了。然后，行鏈表和列鏈表的表頭節(jié)點(diǎn)實(shí)際上也各構(gòu)成了一個(gè)鏈表，我們給他們添加一個(gè)公有的表頭節(jié)點(diǎn)。***，通過指向這個(gè)行列鏈表表頭構(gòu)成的鏈表的公有的表頭節(jié)點(diǎn)的指針，我們就可以訪問稀疏矩陣了。

　　好像和書上的不一樣——非零元節(jié)點(diǎn)沒了指示位置的I、j，實(shí)際上，對于確定非零元在矩陣中的位置，I、j不是必須的，看著圍棋盤你就會(huì)很清楚。但是很不幸，不是把他們存起來就萬事大吉了，最起碼，必須考慮加法和乘法的效率，請你想想如果用上面的那種結(jié)構(gòu)，如何完成。

　　如果你細(xì)想想，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，非零元節(jié)點(diǎn)如果沒有指示位置的域，那么做加法和乘法時(shí)，為了確定節(jié)點(diǎn)的位置，每次都要遍歷行和列的鏈表。因此，為了運(yùn)算效率，這個(gè)域是必須的。為了看出十字鏈表和單鏈表的差異，我從單鏈表派生出十字鏈表，這需要先定義一種新的結(jié)構(gòu)，如下：

 
 
 
    
  
  
  
  1. class MatNode  
    2. 
  
  
  
  2. {  
    3. 
  
  
  
  3. public:  
    4. 
  
  
  
  4. int data;  
    5. 
  
  
  
  5. int row, col;  
    6. 
  
  
  
  6. union { Node
  
  
  
  7. }; 
    8.

　　另外，由于這樣的十字鏈表是由多條單鏈表拼起來的，為了訪問每條單鏈表的保護(hù)成員，要聲明十字鏈表類為單鏈表類的友元。即在class List的聲明中添加friend class Matrix;

#p#

　　稀疏矩陣的定義和實(shí)現(xiàn)

 
 
 
    
  
  
  
  1. #ifndef Matrix_H  
    2. 
  
  
  
  2. #define Matrix_H  
    3. 
  
  
  
  3.  
    4. 
  
  
  
  4. #include "List.h"  
    5. 
  
  
  
  5.  
    6. 
  
  
  
  6. class MatNode  
    7. 
  
  
  
  7. {  
    8. 
  
  
  
  8. public:  
    9. 
  
  
  
  9. int data;  
    10. 
  
  
  
  10. int row, col;  
    11. 
  
  
  
  11. union { Node
  
  
  
  12. MatNode(int value = 0, Node
  
  
  
  13. : data(value), down(p), row(i), col(j) {}  
    14. 
  
  
  
  14. friend ostream & operator << (ostream & strm, MatNode &mtn)  
    15. 
  
  
  
  15. {  
    16. 
  
  
  
  16. strm << '(' << mtn.row << ',' << mtn.col << ')' << mtn.data;  
    17. 
  
  
  
  17. return strm;  
    18. 
  
  
  
  18. }  
    19. 
  
  
  
  19. };  
    20. 
  
  
  
  20.  
    21. 
  
  
  
  21. class Matrix : List
  
  
  
  22. {  
    23. 
  
  
  
  23. public:  
    24. 
  
  
  
  24. Matrix() : row(0), col(0), num(0) {}  
    25. 
  
  
  
  25. Matrix(int row, int col, int num) : row(row), col(col), num(num) {}  
    26. 
  
  
  
  26. ~Matrix() { MakeEmpty(); }  
    27. 
  
  
  
  27.  
    28. 
  
  
  
  28. void MakeEmpty()  
    29. 
  
  
  
  29. {  
    30. 
  
  
  
  30. List
  
  
  
  31. while (first-＞data.downrow != NULL)  
    32. 
  
  
  
  32. {  
    33. 
  
  
  
  33. q = first-＞data.downrow;  
    34. 
  
  
  
  34. first-＞data.downrow = q-＞first-＞data.downrow;  
    35. 
  
  
  
  35. delete q;  
    36. 
  
  
  
  36. }  
    37. 
  
  
  
  37. List
  
  
  
  38. row = col = num = 0;  
    39. 
  
  
  
  39. }  
    40. 
  
  
  
  40.  
    41. 
  
  
  
  41. void Input()  
    42. 
  
  
  
  42. {  
    43. 
  
  
  
  43. if (!row) { cout << "輸入矩陣行數(shù)："; cin ＞＞ row; }  
    44. 
  
  
  
  44. if (!col) { cout << "輸入矩陣列數(shù)："; cin ＞＞ col; }  
    45. 
  
  
  
  45. if (!num) { cout << "輸入非零個(gè)數(shù)："; cin ＞＞ num; }  
    46. 
  
  
  
  46. if (!row || !col || !num) return;  
    47. 
  
  
  
  47. cout << endl << "請按順序輸入各個(gè)非零元素，以列序?yàn)橹鳎斎?表示本列結(jié)束" << endl;  
    48. 
  
  
  
  48. int i, j, k, v;//i行數(shù) j列數(shù) k個(gè)非零元 v非零值  
    49. 
  
  
  
  49. Node
  
  
  
  50. List
  
  
  
  51. for (j = 1; j <= col; j++) LastInsert(MatNode(0, NULL, 0, j));  
    52. 
  
  
  
  52. for (i = 1; i <= row; i++)  
    53. 
  
  
  
  53. {  
    54. 
  
  
  
  54. q = new List
  
  
  
  55. q-＞first-＞data.row = i;  
    56. 
  
  
  
  56. p-＞data.downrow = q;  
    57. 
  
  
  
  57. p = q-＞first;  
    58. 
  
  
  
  58. }  
    59. 
  
  
  
  59. j = 1; q = first-＞data.downrow; First(); t = pNext();  
    60. 
  
  
  
  60. for (k = 0; k < num; k++)  
    61. 
  
  
  
  61. {  
    62. 
  
  
  
  62. if (j ＞ col) break;  
    63. 
  
  
  
  63. cout << endl << "輸入第" << j << "列非零元素" << endl;  
    64. 
  
  
  
  64. cout << "行數(shù)："; cin ＞＞ i;  
    65. 
  
  
  
  65. if (i < 1 || i ＞ row) { j++; k--; q = first-＞data.downrow; t = pNext(); continue; }  
    66. 
  
  
  
  66. cout << "非零元素值"; cin ＞＞ v;  
    67. 
  
  
  
  67. if (!v) { k--; continue; }  
    68. 
  
  
  
  68. MatNode matnode(v, NULL, i, j);  
    69. 
  
  
  
  69. p = new Node
  
  
  
  70. t-＞data.down = p; t = p;  
    71. 
  
  
  
  71. while (q-＞first-＞data.row != i) q = q-＞first-＞data.downrow;  
    72. 
  
  
  
  72. q-＞LastInsert(t);  
    73. 
  
  
  
  73. }  
    74. 
  
  
  
  74. }  
    75. 
  
  
  
  75.  
    76. 
  
  
  
  76. void Print()  
    77. 
  
  
  
  77. {  
    78. 
  
  
  
  78. List
  
  
  
  79. cout << endl;  
    80. 
  
  
  
  80. while (q != NULL)  
    81. 
  
  
  
  81. {  
    82. 
  
  
  
  82. cout << *q;  
    83. 
  
  
  
  83. q = q-＞first-＞data.downrow;  
    84. 
  
  
  
  84. }  
    85. 
  
  
  
  85. }  
    86. 
  
  
  
  86.  
    87. 
  
  
  
  87. Matrix & Add(Matrix &matB)   
    88. 
  
  
  
  88. {  
    89. 
  
  
  
  89. //初始化賦值輔助變量  
    90. 
  
  
  
  90. if (row != matB.row || col != matB.col || matB.num == 0) return *this;  
    91. 
  
  
  
  91. Node
  
  
  
  92. Node
  
  
  
  93. Node
  
  
  
  94. List
  
  
  
  95. First(); matB.First();  
    96. 
  
  
  
  96. for (int j = 1; j <= col; j++)  
    97. 
  
  
  
  97. {  
    98. 
  
  
  
  98. pAT[j] = pNext();  
    99. 
  
  
  
  99. pBT[j] = matB.pNext();  
    100. 
  
  
  
  100. }  
    101. 
  
  
  
  101.  
    102. 
  
  
  
  102. //開始  
    103. 
  
  
  
  103. for (int i = 1; i <= row; i++)  
    104. 
  
  
  
  104. {  
    105. 
  
  
  
  105. qA-＞First(); qB-＞First();  
    106. 
  
  
  
  106. pA = qA-＞pNext(); pB = qB-＞pNext();  
    107. 
  
  
  
  107. while (pA != NULL && pB !=NULL)  
    108. 
  
  
  
  108. {  
    109. 
  
  
  
  109. if (pA-＞data.col == pB-＞data.col)  
    110. 
  
  
  
  110. {  
    111. 
  
  
  
  111. pA-＞data.data += pB-＞data.data;  
    112. 
  
  
  
  112. pBT[pB-＞data.col]-＞data.down = pB-＞data.down; qB-＞Remove();  
    113. 
  
  
  
  113. if (!pA-＞data.data)  
    114. 
  
  
  
  114. {  
    115. 
  
  
  
  115. pAT[pA-＞data.col]-＞data.down = pA-＞data.down;  
    116. 
  
  
  
  116. qA-＞Remove();  
    117. 
  
  
  
  117. }  
    118. 
  
  
  
  118. else   
    119. 
  
  
  
  119. {  
    120. 
  
  
  
  120. pAT[pA-＞data.col] = pA;  
    121. 
  
  
  
  121. qA-＞pNext();  
    122. 
  
  
  
  122. }  
    123. 
  
  
  
  123. }  
    124. 
  
  
  
  124.  
    125. 
  
  
  
  125. else 
    126. 
  
  
  
  126. {  
    127. 
  
  
  
  127. if (pA-＞data.col ＞ pB-＞data.col)  
    128. 
  
  
  
  128. {  
    129. 
  
  
  
  129. pBT[pB-＞data.col]-＞data.down = pB-＞data.down;  
    130. 
  
  
  
  130. qB-＞pRemove();  
    131. 
  
  
  
  131. pB-＞data.down = pAT[pB-＞data.col]-＞data.down;  
    132. 
  
  
  
  132. pAT[pB-＞data.col]-＞data.down = pB;  
    133. 
  
  
  
  133. pAT[pB-＞data.col] = pB;  
    134. 
  
  
  
  134. qA-＞InsertBefore(pB);  
    135. 
  
  
  
  135. }  
    136. 
  
  
  
  136.  
    137. 
  
  
  
  137. else if (pA-＞data.col < pB-＞data.col)   
    138. 
  
  
  
  138. {  
    139. 
  
  
  
  139. pAT[pA-＞data.col] = pA;  
    140. 
  
  
  
  140. qA-＞pNext();  
    141. 
  
  
  
  141. }  
    142. 
  
  
  
  142. }  
    143. 
  
  
  
  143. pA = qA-＞pGet();pB = qB-＞pGet();  
    144. 
  
  
  
  144. }  
    145. 
  
  
  
  145.  
    146. 
  
  
  
  146. if (pA == NULL && pB != NULL)   
    147. 
  
  
  
  147. {  
    148. 
  
  
  
  148. qA-＞pGetPrior()-＞link = pB;  
    149. 
  
  
  
  149. qB-＞pGetPrior()-＞link = NULL;  
    150. 
  
  
  
  150. while (pB != NULL)  
    151. 
  
  
  
  151. {  
    152. 
  
  
  
  152. pBT[pB-＞data.col]-＞data.down = pB-＞data.down;  
    153. 
  
  
  
  153. pB-＞data.down = pAT[pB-＞data.col]-＞data.down;  
    154. 
  
  
  
  154. pAT[pB-＞data.col]-＞data.down = pB;  
    155. 
  
  
  
  155. pAT[pB-＞data.col] = pB;  
    156. 
  
  
  
  156. pB = pB-＞link;  
    157. 
  
  
  
  157. }  
    158. 
  
  
  
  158. }  
    159. 
  
  
  
  159.  
    160. 
  
  
  
  160. if (pA !=NULL)  
    161. 
  
  
  
  161. {  
    162. 
  
  
  
  162. while (qA-＞pGet() != NULL)  
    163. 
  
  
  
  163. {  
    164. 
  
  
  
  164. pAT[pA-＞data.col] = pA;  
    165. 
  
  
  
  165. qA-＞pNext();  
    166. 
  
  
  
  166. }  
    167. 
  
  
  
  167. }  
    168. 
  
  
  
  168.  
    169. 
  
  
  
  169. qA = qA-＞first-＞data.downrow; qB = qB-＞first-＞data.downrow;  
    170. 
  
  
  
  170. }  
    171. 
  
  
  
  171. delete []pAT; delete []pBT;  
    172. 
  
  
  
  172. return *this;  
    173. 
  
  
  
  173. }  
    174. 
  
  
  
  174. private:  
    175. 
  
  
  
  175. int row, col, num;  
    176. 
  
  
  
  176. };  
    177. 
  
  
  
  177.  
    178. 
  
  
  
  178. #endif 
    179.

　　【說明】對于十字鏈表來說，只要記住對每個(gè)節(jié)點(diǎn)的操作，要同時(shí)考慮它的兩個(gè)指針域，那么，各種算法的理解都不是很難。比如說矩陣加法，“兩個(gè)矩陣相加和兩個(gè)一元多項(xiàng)式相加極為相似，所不同的是一元多項(xiàng)式只有一個(gè)變元(指數(shù)項(xiàng))，而矩陣中每個(gè)非零元有兩個(gè)變元(行值和列值)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)既在行表中又在列表中，致使插入和刪除節(jié)點(diǎn)時(shí)指針的修改稍為復(fù)雜，故需要更多的輔助指針。”(《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C語言版)》)其實(shí)private的row等可以放在首行的頭節(jié)點(diǎn)里的，但為了清晰一點(diǎn)(本來就夠亂了)，我把他們單立出來了。另外，很多地方考慮不是很周全，要是不按照注明的要求使用，很容易就會(huì)出錯(cuò)。

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新聞名稱：C++數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)之稀疏矩陣
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