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順序查找和二叉查找詳解

0.提要勾玄

本文主要先介紹查找的概念，然后介紹最簡單的查找算法——順序查找，最后介紹二分查找。

1. 何為查找?

我們平常做很多事情，都會涉及到大量的增刪改查操作。比如一個用戶管理系統(tǒng)，會涉及用戶注冊(增)、用戶注銷(刪)、修改用戶信息(改)、查找用戶(查)，其中“刪”和“改”要依賴“查”操作。

下面重點來介紹一下查找這個重要的操作。

現(xiàn)給你一個點名冊，讓你查找一個學生。我們的做法是：根據(jù)這個學生的姓名或者學號，在點名冊中一個個的比對，直到找到一個學號或姓名符合條件的學生為止，否則就可以說點名冊中沒有該學生。

點名冊是一個集合，也可稱之為查找表，其中有大量同一類型的元素，也可稱之為記錄——學生。學生中可能有重名的，但不會有重學號的，也即，一個學號唯一對應(yīng)一個學生，一個姓名可能對應(yīng)多個學生。如果我們根據(jù)學號找，只要點名冊中有，那么就可以找到唯一一個符合條件的學生。如果我們根據(jù)姓名找，那么我們就可能找到多個符合條件的學生。

像學號和姓名這種可以標識一個學生的值，我們稱之為關(guān)鍵字，學號這種唯一標識一個元素的值為主關(guān)鍵字，姓名這種可能標識若干元素的值為次關(guān)鍵字。當集合中的元素只有一個數(shù)據(jù)項時，其關(guān)鍵字即為該數(shù)據(jù)元素的值。

比如數(shù)組[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]，其元素只有一個數(shù)據(jù)項，關(guān)鍵字即元素值本身;而點名冊中的元素——學生，卻有三個數(shù)據(jù)項——學號、姓名、專業(yè)，其中學號、姓名為關(guān)鍵字。

如果你學過數(shù)據(jù)庫，那么以上概念很容易理解。

所謂查找，通俗點說就是在一大群元素(集合 / 查找表)中，依照某個查找依據(jù)，找一個特定的、符合要求的元素(記錄)。

  • 如果找到了，即查找成功，返回元素的信息;
  • 如果找遍所有元素還沒找到，說明這群元素中沒有符合要求的元素，即查找失敗，返回一個可以明顯標記失敗的值，比如“空記錄”或“空指針”。

所謂查找依據(jù)，就是給定一個目標值，比較該目標值和關(guān)鍵字是否相等。這就要求目標值和關(guān)鍵字的類型要相同。

2. 順序查找(Sequential Search)

順序查找是我們最容易想到的查找方式，上面的點名冊例子中，查找一個學生就是用的就是順序查找。

順序查找思想：

從集合中的第一個元素開始至最后一個元素，逐個比較其關(guān)鍵字和目標值。

  • 若某個關(guān)鍵字和目標值相等，則查找成功，返回所查元素的信息;
  • 若沒有一個關(guān)鍵字和目標值相等，則查找失敗，返回失敗標識值。

比如，給定一個數(shù)組[11, 8, 4, 6, 9, 1, 16, 22, 14, 10]，給定目標值 key，若找到，則返回其數(shù)組下標;否則，返回 -1：

只需從下標 0 開始遍歷整個數(shù)組進行比較即可：

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. /** 
    2. 
  
  
  
  
  2.  * @description: 從頭到尾遍歷整個數(shù)組，查找目標值 key，返回其下標 index         
    3. 
  
  
  
  
  3.  * @param {int} *array 數(shù)組 為了說明問題簡單，這里的數(shù)組元素不重復 
    4. 
  
  
  
  
  4.  * @param {int} length 數(shù)組長度 
    5. 
  
  
  
  
  5.  * @param {int} key 目標值 
    6. 
  
  
  
  
  6.  * @return {int} 如果找到，返回目標值下標；否則返回 -1 
    7. 
  
  
  
  
  7.  */ 
    8. 
  
  
  
  
  8. int sequential_search(int *array, int length, int key) 
    9. 
  
  
  
  
  9. { 
    10. 
  
  
  
  
  10.     for (int index = 0; index < length; index++) { 
    11. 
  
  
  
  
  11.         if (array[index] == key) { 
    12. 
  
  
  
  
  12.             return index; 
    13. 
  
  
  
  
  13.         } 
    14. 
  
  
  
  
  14.     } 
    15. 
  
  
  
  
  15.     return -1; 
    16. 
  
  
  
  
  16. } 
    17.

以上代碼存在可優(yōu)化的地方，因為每次比較之前要判斷數(shù)組是否越界：index < length，增加哨兵則可以避免這一步比較。

所謂哨兵，是一種形象的說法，將其放在數(shù)組頭或尾，用來標記結(jié)束，當遍歷到“哨兵”時，就說明數(shù)組中沒有目標值，查找失敗。

為此，我們要特意在數(shù)組中留出一個位置給“哨兵”，并且把哨兵的值設(shè)置為目標值：

像這樣，從另一側(cè)往“哨兵”一側(cè)遍歷。如果數(shù)組中有目標值，則一定能找到;如果數(shù)組中沒有目標值，那么就會遍歷至“哨兵”而停下，因為“哨兵”的值就是目標值，所以返回下標為 0 時，意味著查找失敗。

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. /** 
    2. 
  
  
  
  
  2.  * @description: 順序查找改進，增加哨兵 
    3. 
  
  
  
  
  3.  * @param {int} *array array[0] 不存放數(shù)據(jù)元素，充當哨兵 
    4. 
  
  
  
  
  4.  * @param {int} length 數(shù)組長度 
    5. 
  
  
  
  
  5.  * @param {int} key 目標值 
    6. 
  
  
  
  
  6.  * @return {int} 返回0，即哨兵下標，則查找失??；否則成功 
    7. 
  
  
  
  
  7.  */ 
    8. 
  
  
  
  
  8. int sequential_search_pro(int *array, int length, int key) 
    9. 
  
  
  
  
  9. { 
    10. 
  
  
  
  
  10.     array[0] = key; // 哨兵 
    11. 
  
  
  
  
  11.     int index = length - 1; 
    12. 
  
  
  
  
  12.     while (array[index] != key) { 
    13. 
  
  
  
  
  13.         index--; 
    14. 
  
  
  
  
  14.     } 
    15. 
  
  
  
  
  15.     return index; 
    16. 
  
  
  
  
  16. } 
    17.

在一側(cè)放置“哨兵”的做法避免了每次遍歷進行的數(shù)組越界檢查，這樣能提高效率。你可能會問就一句比較能提高多少效率?蚊子腿再小也是肉，而且當數(shù)據(jù)量很多時，這些“蚊子腿”就會積累成“大象腿”了。

以上就是順序查找的基本內(nèi)容，雖然加了“哨兵”可以小小地優(yōu)化一下，但當數(shù)據(jù)量極大時，仍然改變不了這種查找方法效率低下的事實。

因為我們是從一頭到另一頭“順序遍歷”，所以有時候可能目標值就在第一個位置，只查找一次就找到了，仿佛是天選之子;但有時候可能目標值在最后一個位置，那就需要把所有元素都查找一遍才行，當有千萬、億條數(shù)據(jù)時，這種就太可怕了。

當然，優(yōu)點也有：算法簡單好理解、適合數(shù)據(jù)量小的情況使用(使用時盡量把常用數(shù)據(jù)排在前面，這樣可以提高效率)。

3. 二分查找(Binary Search)

回到上面舉得那個點名冊的例子，那樣一個個地找學號或姓名實在是太慢了，有沒有什么更快的方法呢?

其實，在日常生活中的點名冊更多的是已排序的，比如按姓氏首字母、按學號大小排序，這樣一來，在找名字或找學號的時候就能有一個大致的區(qū)域了，而不必從頭到尾一個個地找。

所以，排好序的集合是便于查找的。下面介紹一種利用已排序的查找——二分查找(或折半查找)。

所謂二分查找，關(guān)鍵在“二分”“折半”上，顧名思義，不斷將集合進行二分(折半)拆分，以此將集合拆分幾個區(qū)域，然后在某個區(qū)域中查找。前提條件是集合中的元素是有序的，元素必須采用順序表(數(shù)組)存儲。

二分查找思想：

在有序順序表中，取中間元素，將有序順序表分為左半?yún)^(qū)和右半?yún)^(qū)，比較中間元素的關(guān)鍵字和目標值 key 是否相等：

1.如果相等，則查找成功，返回中間元素的信息;

2.如果不相等，說明目標值 key 在左半?yún)^(qū)或右半?yún)^(qū)：

  • 若目標值 key小于中間元素的關(guān)鍵字，則來到左半?yún)^(qū);
  • 若目標值 key 大于中間元素的關(guān)鍵字，則來到右半?yún)^(qū);

不斷在各半?yún)^(qū)中重復上述過程，直到查找成功;否則，則集合中無目標值，查找失敗。

下面結(jié)合實例，看一下具體過程。

這是一個有序的數(shù)組，我們要查找 33：

要想將數(shù)組分為左右半?yún)^(qū)，需要三個標致：最左標志位 left、最右標志位 right和中間標志位 mid。其中 mid = (left + right) / 2，確定了 mid 的值之后，與目標值 key進行比較：

中間值 28 小于目標值key，說明目標值在右半?yún)^(qū)，所以更新三個標志位，進入右半?yún)^(qū)，然后繼續(xù)比較：

中間值 39 大于目標值key，更新三個標志位，進入左半?yún)^(qū)：

中間值 30 小于目標值key，更新三個標志位，進入右半?yún)^(qū)：

中間值 33 等于目標值key，返回其下標，即 mid。

具體代碼如下：

 
 
 
 
    
  
  
  
  
  1. /** 
    2. 
  
  
  
  
  2.  * @description: 二分查找 
    3. 
  
  
  
  
  3.  * @param {int} *array 有序數(shù)組 
    4. 
  
  
  
  
  4.  * @param {int} length 數(shù)組長度 
    5. 
  
  
  
  
  5.  * @param {int} key 目標值，和關(guān)鍵字比較 
    6. 
  
  
  
  
  6.  * @return {int} 返回目標值下標；若查找失敗，則返回 -1 
    7. 
  
  
  
  
  7.  */ 
    8. 
  
  
  
  
  8. int binary_search(int *array, int length, int key) 
    9. 
  
  
  
  
  9. { 
    10. 
  
  
  
  
  10.     int left, mid, right; 
    11. 
  
  
  
  
  11.     left = 0; 
    12. 
  
  
  
  
  12.     right = length - 1; 
    13. 
  
  
  
  
  13.     while (left <= right) { 
    14. 
  
  
  
  
  14.         mid = (left + right) / 2; // 中間下標 
    15. 
  
  
  
  
  15.         if (key < array[mid]) { // key 比中間值小 
    16. 
  
  
  
  
  16.             right = mid - 1; // 更新最右下標，進入左半?yún)^(qū) 
    17. 
  
  
  
  
  17.         } else if (key > array[mid]) { // key 比中間值大 
    18. 
  
  
  
  
  18.             left = mid + 1; // 更新最左下標，進入右半?yún)^(qū) 
    19. 
  
  
  
  
  19.         } else { 
    20. 
  
  
  
  
  20.             return mid; // key 等于中間值，返回其下標 
    21. 
  
  
  
  
  21.         } 
    22. 
  
  
  
  
  22.     } 
    23. 
  
  
  
  
  23.     return -1; //未找到，返回 -1 
    24. 
  
  
  
  
  24. } 
    25.

二分查找的精髓在于中間標志位 mid 把有序順序表一分為二，通過比較中間值和目標值的大小關(guān)系，能夠篩選掉一半的數(shù)據(jù)，相當于減少了一半的工作量。

上例只比較了四次，就找到了目標值，如果使用順序查找，則需要八次。

可以看出，二分查找的效率相較于順序查找有了很大提高，但美中不足的是二分查找必須要求元素有序。在元素的有序狀態(tài)不變化或不經(jīng)常變化的情景下，二分查找非常合適;但是如果涉及到頻繁的插入和刪除操作，就意味著元素的有序狀態(tài)會被頻繁破壞，這樣一來，我們就不得不花精力去維護元素的有序狀態(tài)，自然又會降低效率，所以要根據(jù)實際情況靈活取舍。

以上就是順序查找和二分查找的內(nèi)容。

完整代碼請移步至 GitHub[1] | Gitee[2] 獲取。

參考資料

[1]GitHub: https://github.com/xingrenguanxue/Simple-DS-and-Easy-Algo

[2]Gitee: https://gitee.com/xingrenguanxue/Simple-DS-and-Easy-Algo


網(wǎng)頁題目：順序查找和二叉查找詳解
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